Gaudí i el llenguatge ocult de les matemàtiques
La catenària
Quan observem una cadena o corda subjectada pels extrems sotmesa només a la força de la gravetat, és a dir, sense cap pes afegit, a primer cop d’ull podem creure que es tracta d’una paràbola, tal com afirmava firmament Galileo Galilei, però l’any 1669 Joachim Jungius va demostrar que no ho era, que es tractava d’una corba diferent. A partir de tal descobriment Jacob Bernoulli va reptar als altres matemàtics a trobar-ne l’equació. Vint-i-dos anys més tard el germà de Bernoulli juntament amb Leibniz i Huygens van donar amb la solució, i aquest últim li va posar el nom de catenària, paraula que deriva del llatí catenarĭus, propi de la cadena. Aquell mateix any David Gregory va escriure el primer tractat que parlava d’aquesta corba.
Per Gaudí, la catenària dóna espiritualitat i elegància a l’arc i tota l’estructura. És autoestable i minimitza les tensions laterals, per tant, evita la col·locació de contraforts i fa que l’edifici sigui més lleuger.
Propietats
-
L'equació de la catenària, prenent el seu mínim en el punt (0,a) és
En la qual
On és la component horitzontal de la tensió, que és constant, i P és el pes per unitat de longitud del fil.
-
El cosinus hiperbòlic d’un nombre real x es defineix com
On la inversa de és l’Argument Cosinus Hiperbòlic de x:
-
Les propietats més significatives són les següents
Relacionat amb el sinus hiperbòlic
Relacionat amb el cosinus
Derivada
Sèrie de Taylor
-
Si es desenvolupa en sèries de Taylor la funció s'obté
Que es correspon a l’equació d’una paràbola més un terme de quart ordre. És això el que fa que les gràfiques siguin tan semblants al voltant de zero.
-
Les seves relacions més importants són
Longitud de l'arc, amb l'origen d'arcs en el mínim
Tensió del fil
I la tensió total és
Ús de la catenària a l’obra de Gaudí
-
Casa Vicens
-
Park Güell
-
Casa Milà o la Pedrera
-
Casa Batlló
-
Sagrada Família
-
Cellers Güell
La catenària al nostre entorn
De manera anàloga es defineix al sinus hiperbòlic com
I la tangent hiperbòlica com
