Fractals

En termes generals, un fractal és un objecte geomètric d'estructura irregular, fragmentada i rugosa de gran complexitat que ve definit per algoritmes simples. És el producte de la iteració d’un procés geomètric ben definit i depèn de les condicions inicials d’aquest. Pot ser espacial o pla, però sempre format per components infinits.

Van ser estudiats a fons per Benoît Mandelbrot, el qual, gràcies al seu llibre titulat Els objectes fractals, l’any 1975 va implantar el terme fractal, que deriva de l’arrel llatina fractus (trencat, fracturat, irregular).

Neixen de la recerca d’una forma més apropiada per descriure els objectes de la natura, i en aquesta investigació va redescobrir una sèrie d’objectes matemàtics (conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc) que, fins aquell moment, s’havien considerat curiositats matemàtiques i no s’havia trobat la relació que mantenien. Són molt útils en camps com la medicina, la cardiologia o la sismologia.

La característica principal d’aquesta forma és la seva aparença i que, al modificar l’escala, la manera en la que es distribueix estadísticament no varia.

Donada la seva irregularitat, podem dir que els fractals formen part dels elements semi geomètrics que mantenen l’estructura a diferent escala.

Segons Mandelbrot, podem trobar 3 tipus de fractals diferents en autosimilitud, és a dir, les parts tenen la mateixa estructura que tot el conjunt:

Autosimilitud exacta: El fractal és idèntic a qualsevol escala.
Casi autosimilitud: Al canviar l’escala, la copia del conjunt és molt similar, però no idèntica.
Autosimilitud estadística: El fractal ha de tenir unes dimensions estadístiques que conservin la variació de l’escala.

Més tard, el britànic Kenneth Falconer en la seva obra Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, va definir els fractal com un conjunt "F" que satisfà les propietats següents:

a) "F" té una estructura fina, és a dir, detall a escales arbitràriament petites.

b) "F" és massa irregular per ser descrit en llenguatge geomètric tradicional, tant localment com globalment.

c) "F" té alguna forma d'autosimilitud.

d) La dimensió fractal de "F" és major que la seva dimensió topològica.

e) "F" es defineix d'una manera molt simple.

Expressió matemàtica

Actualment el concepte de fractal encara no disposa d'una definició matemàtica precisa i d'acceptació general.

Ús dels fractals a l’obra de Gaudí